GIỚI HẠN
BÀI GIẢNG GIỚI HẠN DÃY SỐ
Mục tiêu
 Kiến thức
+ Hiểu được khái niệm giới hạn của dãy số.
+ Biết được một số định lí giới hạn của dãy số, cấp số nhân lùi vô hạn.
 Kĩ năng
+

Áp dụng khái niệm giới hạn dãy số, định lí về giới hạn của dãy số vào giải các bài tập.

+

Biết cách tính giới hạn của dãy số.

+

Biết cách tính tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn.

Trang 1

I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM
1. Định nghĩa dãy số có giới hạn 9
1.1. Định nghĩa: Ta có nói rằng dãy số  un  có giới Nhận xét:
hạn 0 (hay có giới hạn là 0) nếu với mỗi số dương a) Dãy số  un  có giới hạn 0 khi và chỉ khi dãy số
nhỏ tùy ý cho trước, mọi số hạng của dãy số, kể từ

 u  có giới hạn 0.

một số hạng nào đó trở đi, đều có giá trị tuyệt đối

b) Dãy số không đổi  un  , với un  0 có giới hạn

nhỏ hơn số dương đó.
Khi đó ta viết: lim un  0 hoặc un  0.

n

0.

(Kí hiệu “ lim un  0 ”, đọc là dãy số  un  có giới
n 

hạn là 0 khi n dần đến vô cực).
1.2. Một số dãy số có giới hạn 0 thường gặp
Dựa vào định nghĩa, người ta c

Bài giảng giới hạn dãy số

CHUYÊN ĐỀ
BÀI GIẢNG GIỚI HẠN HÀM SỐ
Mục tiêu
 Kiến thức
+ Nắm được khái niệm giới hạn của hàm số.
+ Nắm được các tính chất và các phép toán về giới hạn của hàm số.
 Kĩ năng
+ Biết cách tìm giới hạn của hàm số tại một điểm.
+ Vận dụng được các quy tắc tìm giới hạn của hàm số.
+ Thực hành khử một số hạng vô định cơ bản.
I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM
Định nghĩa giới hạn của hàm số tại một điểm
1. Giới hạn hữu hạn tại một điểm
Định nghĩa 1

Các giới hạn đặc biệt

Cho khoảng  a; b  và một điểm x0 . Hàm số y  f  x 

+) lim C  C , với C là hằng số bất kỳ.
x  x0

xác định trên  a; b  hoặc trên  a; b  \  x0  . Ta nói rằng +) f  x  là hàm số quen thuộc (đa thức, phân
hàm số f  x  có giới hạn là số thực L khi x dần đến thức hữu tỉ, cân lượng giác) xác định trên  a; b 
x0 (hoặc tại điểm x0 ) nếu với mọi dãy số  xn  trong chứa x thì lim f  x   f  x  .
0
0
tập hợp

 a; b  \  x0 

x  x0

mà lim xn  x0 ta đều có

lim f  xn   L .
Khi đó ta viết lim f  x   L hay f  x   L khi
x  x0

x  x0 .
2. Giới hạn vô cực



Bài giảng giới hạn hàm số

BÀI GIẢNG HÀM SỐ LIÊN TỤC
Mục tiêu
 Kiến thức
+ Nắm được khái niệm hàm số liên tục tại một điểm, trên một khoảng, trên một đoạn.
+ Nắm được các định lí cơ bản về hàm số liên tục
 Kĩ năng
+ Chứng minh được hàm số liên tục tại một điểm, liên tục trên một khoảng, liên tục trên một
đoạn
+ Nắm vững phương pháp giải dạng bài toán tìm tham số để hàm số liên tục

Trang 1

I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM
1. Hàm số liên tục tại một điểm

Hàm số không liên tục tại điểm x0 được gọi là gián

Định nghĩa 1

đoạn tại điểm x0 .

Cho hàm số y  f  x  xác định trên khoảng K và
x0  K . Hàm số y  f  x  được gọi là liên tục tại
x0 nếu lim f  x   f  x0  .
x  x0

2. Hàm số liên tục trên một khoảng, trên một
đoạn
Định nghĩa 2
Hàm số y  f  x  được gọi là liên tục trên một

Hàm số liên tục trên khoảng  a; b 

khoảng nếu nó liên tục tại mọi điểm của khoảng đó.
Hàm số y  f  x  được gọi là liên tục trên đoạn

 a; b 

nếu nó liên tục trên khoảng

 a; b 

và

lim f  x   f  a  , lim f  x   f  b  .

x a

x b

Hàm số không liên t

Bài giảng hàm số liên tục

CHỦ ĐỀ GIỚI HẠN HÀM SỐ
I. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
1) Giới hạn của hàm số tại một điểm
a) Giới hạn hữu hạn
Cho hàm số f  x  xác định trên khoảng  a; b  , có thể trừ điểm x0   a; b  . Nếu với mọi dãy số  xn  mà

xn   a; b  \  x0  ; lim xn  x0 ta đều có lim f  xn   L thì ta nói hàm số f  x  có giới hạn là số L khi x
dần đến x0 . Khi đó ta kí hiệu lim f  x   L hoặc f  x   L khi x  x0 .
x  x0

b) Giới hạn vô cực
Tương tự như các điều đã nêu trong phần a, nếu L là  thì ta nói f  x  có giới hạn vô cực khi x  x0
và kí hiệu lim f  x    hay f  x    khi x  x0 .
x  x0

2) Giới hạn của hàm số tại vô cực
Cho hàm số

f  x  xác định trong khoảng

 a;    .

Khi đó nếu với mọi dãy số

 xn 

với

xn  an, lim xn   ta đều có

lim f  xn   L (hoặc ,   ) ta nói hàm số f  x  có giới hạn là L (hoặc ,   ) khi x dần tới vô cực.
Khi đó viết lim  L (hay  ) hoặc f  x   L (hay  )
x 

Khi x   hàm số f  x  trong  ; b  , với mọi dãy  xn  mà xn  b lim xn   ta đều có

lim f  xn   L (hay  ) thì ta có lim f  x   L (hay  ) hoặc 

Tài liệu chủ đề giới hạn hàm số

CHỦ ĐỀ HÀM SỐ LIÊN TỤC
I. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
1) Hàm số liên tục tại một điểm


Giả sử hàm số f xác định trên khoảng  a; b  và x0   a; b  . Hàm số f được gọi là liên tục tại
điểm x0



nếu: lim f  x   f  x0 
x  x0

Hàm số không liên tục tại điểm x0 được gọi là gián đoạn tại điểm x0 và điểm x0 được gọi là
điểm gián đoạn của hàm số f  x 



Theo định nghĩa trên, hàm số f  x  xác định trên khoảng  a; b  là liên tục tại điểm x0   a; b 
nếu và chỉ nếu lim f  x  và lim f  x  tồn tại và lim f  x  = lim f  x  = f  x0 
x  x0

x  x0

x  x0

x  x0

2) Hàm số liên tục trên một khoảng, trên một đoạn


Hàm số f  x  xác định trên khoảng  a; b  được gọi là liên tục trên khoảng đó, nếu nó liên tục tại
mọi điểm của khoảng đó.



Hàm số f  x  xác định trên đoạn  a; b được gọi là liên tục trên đoạn đó, nếu nó liên tục trên
khoảng  a; b  và lim f  x   f  a  , lim f  x   f  b  (liên tục bên phải tại a và bên trái tại b )
xa

x b

Chú ý:
- Đồ thị của một hàm số liên tục trên một khoảng là một “đường liền” tr

Tài liệu chủ đề hàm số liên tục

Gi     Nguy    -   GV trư    M   Trong m  n To       tr     THPT,   c    b    to    v    d    s    v    gi    h    d    s    l   m    ph    quan tr    c    gi    t    to    h  . D    s    ng    c        quan t  m     m    v    t    ra c    s    h    d    m    m    nh    v        v    t           c    ph  ng ph   v    k    thu    gi    ch    c    nh    y  u c    cao v    t    duy cho ng     gi  .  C    b    to    d    s    kh  ng nh    r    luy    t    duy s    t  , tr    th  ng minh m   c     em l    say m    v    y  u th    m  n To    c    ng     h  .  T rong c    k    thi h    sinh gi    c    T  , c    Qu    gia, Qu    t    c    b    to   li  n quan       d    s        bi    l    gi    h    d    s            c    r    nhi    v    c    gi    tr   ph  n h    ch    l     b    thi cao.  Trong b    vi    n    t    gi    tr    b    m    s    ph  ng ph    t    gi    h    d    s  :  ph  ng ph    s    d        ngh  , t    ch    c    c    d  y   s        bi  ,       l    k  ,  ph  ng ph    s    d    t     n    i    v    b    ch  ,   ph  ng ph    d    sai ph  n, ph  ng  ph    s    d    t    ch    c    h    s  , ph  ng tr  , ph  ng ph    l     gi    h  ...M         p , hi        c      t     trong t         gi    quy    b    to    v    hi   C    v    d    v    b    t        ch    l    l    c        thi HSG c    t  , c    qu    gia,  qu    t  , c  c b    tr  n c    t    ch    n    ti  .   B    vi        tr    b    theo h    th  :  -   Ki    th    s    d  .  -      t     ch    c    ph  ng ph  .  -   C    v    d    v    h     d    gi  .  -   B    t    t    gi  .  T    gi    hy v    b    vi    n    s    gi    c    em h    sinh b    sung ki    th    v   ph    d    s    trong c    k    thi h    sinh gi    v    t    li    tham kh    b       cho b      .Gi     Nguy    -   GV trư    N   I)   Phương pháp s    gi     1. Ki     :   *  lim   0,   : n   n u   L   N   N   n   N   u   L                                 S    d  :  -   T iêu chu  - si: Dãy {x n } có gi         > 0,  t   n N sao cho v       N ta có |x m      x n | <    .  -   Nguyên lý ánh x    N       f(y)|      q|x - y| v    h   n } b   n } h       q < 1 thì ta  luôn có đi            giá   1   ;   1 n   n u   L   q u   L q              và   1   1   ;   1 n   n   n   n u   u   q u   u   q                Phương pháp này thư         2.   Các ví d   Bài 1 :   (Đ     Cho dãy s    1  1  3  u      và   2  1  1   1  2  n   n u   u          . Tìm gi    s  ?  HD :   Ch    1   0 n u         Gi      2 1   1   1   3  2  x   x   x   a                  Xét   2   2   1   3  1   1  2   2   2   2  n  n   n   n   n  u   a  u   a   u   a u   a   u   a                                             Suy ra   lim   1   3 n u        Bài   2 :   (Đ      (   ) n u   xác đ   1 u   a    và   u n+1   = ln(3+cos u n   + sin u n )      2008 v   Ch    u n   ) có gi   HD :       f(x) = ln(3+sinx+cosx)      2008   thì   cos   sin  '( )   3   sin   cos  x   x  f   x   x   x            T    d    | cos   sin   |   2,   | sin   cos   |   2 x   x   x   x             ta suy ra  . 1  2 3  2  | ) ( ' |           q x f         N, ta có  | u m      u n | = |f(u m - 1 )      f(u n - 1 )|     q|u m - 1 - u n - 1 |     ...     q n - 1 |u m - n+1      u 1 | .  Do dãy   ( u n )   b     dãy ( x n )   tho       n Cauchy   nên   có gi   h  .

Bài tập nâng cao giới hạn của dãy số – Nguyễn Minh Tuấn

TÌM GI  I H  N B  NG MÁY TÍNH C  M TAY  Giáo viên th  c hi  n: Nguy  n Văn Phép   Trang   1  GI  I PHÁP TH  C HI  N B  NG MÁY TÍNH C  M TAY (MTCT)      TÍNH GI  I H  N  Ki  n th  c gi  i h  n dãy s    và gi  i h  n hàm s    là cơ s    c  a c  a hai phép tính    o hàm và tích phân      ph    thông trung h  c .Ki  n th  c v    gi  i h  n không nh  ng  khó đ  i v  i ngư  i h  c mà còn khó     i v  i ngư  i d  y .Trong tình hình hi  n nay đ   c  p nh  t phù h  p thi tr  c nghi  m .Đ    giúp giăm b  t khó khăn nên tôi so  n đ    tài  này.  Gi  i pháp th  c hi  n b  ng máy tính c  m tay (MTCT) đ    tính gi  i h  n Dãy s  :  Quy ư  c   : trong máy tính không có bi  n n nên ta g hi x thay cho n .     G  p h  ng s    :   C 10  10    ,C 20  10    .... đ  c là (d  u c  a   C ) nhân vô c  c v  i   C  là h  ng s    ( chú ý có th    l  n hơn 10).  ví d    - 5 10  10    ( đ  c là âm vô c  c ghi     )     G  p h  ng s    C 12  10        c là 0 (   Chú ý s    mũ có th    nh    hơn      10 ).  ví d  : 15 12  10        c là 0  A . Dãy có gi  i h  n là 0     Ví d    1 :      5 1 lim      n  n   máy ghi :      5 1     x  x   calc x ? nh  p 10  10     Kq : 11  10 99999995 . 9        ta đ  c là 0  Cách b  m máy :     Nh  p vào máy tính: (sau khi đã m    máy)  a(z1)^Q)RQ)+5  Màn hình s    xu  t hi  n:     Sau đó nh  p:   r , màn hình s    xu  t hi  n:   (có th    s    xu  t hi  n con s    khác     dòng hi  n th  , không    nh hư  ng đ  n   quá trình b  m máy)TÌM GI  I H  N B  NG MÁY TÍNH C  M TAY  Giáo viên th  c hi  n: Nguy  n Văn Phép   Trang   2     Ta nh  p ti  p:   10 ^10=  Màn hình s    xu  t hi  n:  Kq : 11  10 99999995 . 9        ta đ  c là 0  V  y      0 5 1 lim       n  n     Ví d    2 : 1 cos ) 1 ( lim   2      n n n   n  u nh  p 1 cos ) 1 (   2      x x x   calc như trên máy s   Math ERROR  -   V  n d  ng đ  nh lý 1 N  u n n   v u      v  i m  i n và 0 lim    n v   thì 0 lim    n u   .  -   Ta ch    c  n ghi 1 1  2    x   calc x ? nh  p 10  10      k  t qu  20  10 1          c là 0  V  y 0 1 cos ) 1 ( lim   2       n n n     Ví d    3:      1 2 1 lim      n n   máy ghi 1 2 ) 1 (     x x   calc x ? 100   kq: 31  10 26 ... 84430 . 3     x    c là 0  Cách b  m máy :     Nh  p vào máy tính: (sau khi đã m    máy)  a(z1)^Q)R2^$Q)+1

Tìm giới hạn bằng máy tính cầm tay – Nguyễn Văn Phép

ST& BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A   Gi        GT 11 Trang 1 Mua file Word liên h    - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook:   https://www.facebook.com/dongpay - Website: https://toanmath.com/ST& BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A   Gi        GT 11 Trang 2 Mua file Word liên h    - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook:   https://www.facebook.com/dongpay - Website: https://toanmath.com/  M   PH         GI      ........................................................................................................................... 4 A – LÝ THUY    VÀ PH    ............................................................................................. 4 B – BÀI T   ....................................................................................................................................... 4 D   ........................................................................ 4 D         B    ................................................................................................................................................ 7 GI     ......................................................................................................................... 15 A – LÝ THUY   ............................................................................................................ 15 B – BÀI T   ..................................................................................................................................... 15 D    TÍNH GI  I H    ................... 15 D    TÍNH GI    0 0   ........................................................................ 18 D    TÍNH GI        ....................................................................... 23 D    ........................................... 27 D   ........................................................................................... 29 HÀM S     ......................................................................................................................... 32 A – LÝ THUY    ........................................................................................... 32 B – BÀI T   ..................................................................................................................................... 32 D       ...................................................... 32 D         ........................................... 37 D       ...................................................................................................................... 42 PH       HƯỚNG DẪN GIẢI ........................................................................................................ 50 GI      ......................................................................................................................... 50 A – LÝ THUY      ........................................................................................... 50 B – BÀI T   ..................................................................................................................................... 50 D   ...................................................................... 50 D         B    .............................................................................................................................................. 55 GI     ......................................................................................................................... 78 A – LÝ THUY   ............................................................................................................ 78 B – BÀI T   ..................................................................................................................................... 78 D    TÍNH GI    ................... 78

Chuyên đề giới hạn có đáp án và lời giải chi tiết – Đặng Việt Đông

ST&BS: Th.S Đặ ng Vi  ng THPT Nho Quan A   Gi  i H  n Nâng Cao File Word liên h  : 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com   Trang 1  Facebook: https://www.facebook.com/dongpay  ST&BS: Th.S Đặ ng Vi  ng THPT Nho Quan A   Gi  i H  n Nâng Cao File Word liên h  : 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com   Trang 2  Facebook: https://www.facebook.com/dongpay  GI  I   H  N  A - LÝ THUY  T CHUNG GI  I H  N C  A DÃY S   I. Gi  i h  n h  u h  n c  a dãy s   1.    nh ngh       nh ngh  : Ta nói r  ng dãy s        n u   có gi  i h  n là 0 khi   n d  c và vi  t  lim   0 n n  u       vi  t t  t là   lim   0 n u      ho  c   0 n u      , n  u m  i s    h  ng c  a dãy s     u có giá tr    tuy  t   i nh    hơn mộ t s    dương bé tùy       t    m  t s    h          nh ngh  : Ta nói r  ng dãy s        n u   có gi  i h  n là s    th  c   a khi   n d  c và vi  t   lim   n n  u   a       , vi  t t  t là   lim   n u   a    ho  c   n u   a    , n  u       lim   0 n n   u   a          2.   M  t vài gi  i h  c bi  t  a)   1 lim   0  n      ;   1 lim   0 k  n      v  i   k   nguyên dương  b)   lim   0 n  q      n  u   1 q     c)   N  u   n u   c    (   c là h  ng s  ) thì   lim   lim n u   c   c      II. Đị nh lý v    gi  i h  n h  u h  n   nh lý 1:  a)   N  u   lim   n u   a    ,   lim   n v   b    thì         lim   n   n u   v   a   b                lim   n   n u   v   a   b                lim   . n   n u v   a b      lim   n n  u   a v   b     (n  u   0 b      ) b)   N  u   0 n u      v  i m  i   n và   lim   n u   a    thì   0 a      và   lim   n u   a   III. T  ng c  a m  t c  p s    nhân lùi vô h  n  C  p s    nhân vô h  n   1   2   3 ,   ,   ,.......   ,....... n u u   u   u   có công b  i   q v  i   1 q      g  i là c  p s    nhân lùi vô h  n. T  ng  S c  a c  p s    nhân đó là:   2   1 1   1   1   ...   1  u  S   u   u q   u q   q                    .  IV. Gi  i h  n vô c  c 1.    nh ngh      Ta nói dãy s        n u   có gi  i h  n     u v  i m  i s    dương tùy     i s    h  ng c  a dãy s  , k    t   m  t s    h     u l    dương đó. Khi đó ta viế t       lim   n u      ho  c  lim(   ) n u      ho  c   n u        Ta nói dãy s        n u   có gi  i h  n     u v  i m  i s      i s    h  ng c  a dãy s  , k    t   m  t s    h     u nh    hơn số   

Trắc nghiệm nâng cao giới hạn – Đặng Việt Đông

GI  I H  N HÀM S   T  P 1  220 BÀI T  P TR  C GI  I H  N HÀM S    CÓ L  I  GI  I CHI TI  T  https://web.facebook.com/phong.baovuong  ALBA - CHƯ SÊ - GIA LAI  NGUY  N B  O VƯƠNG.  GIÁO VIÊN MU  N MUA FILE WORD LIÊN H    0946798489NGUY  N   B  O VƯƠNG   CHƯƠNG IV.   GI  I H  N HÀM S    -   T  P 1  GIÁO VIÊN MU  N MUA FILE WORD LIÊN H    0946798489 Đ      T MUA   1  CHƢƠNG IV : GI  I H  N  T  P I. GI  I H  N DÃY S    VÀ GI  I H  N HÀM S   GI  I H  N DÃY S   1. Gi  i h  n h  u h  n c  a dãy s  1.1. Định nghĩa:   Dãy s  (   ) n  u    c g  i là có gi  i h  n b  ng 0 khi n ti  c n  u v  i m  i s    dương nhỏ   tu      cho trướ c, m  i s    h  ng c  a dãy s    , k    t    m  t s    h     u có giá tri tuy  t d  i nh    hơn số  dương đó. Kí hiệ u: lim   0 n x   u        .Hay là: 0  lim   0 n x   u        khi và ch    khi v  i m  i 0     nh    tùy ý, luôn t  n t  i s    t   nhiên 0  n   sao cho: 0  , n  u   n   n            .      lim   lim   0 n   n x   x  u   a   u   a                  , t  c là: V  i m  i 0     nh    tùy ý, luôn t  n t  i s    t    nhiên 0  n   sao cho 0  , n  u   a   n   n              . Dãy s    (u n ) có gi  i h  n là s    th  c g  i là dãy s    có gi  i h  n h  u h  n.  1.2. M  t s    gi  i h  c bi  t  1 lim   0 k  n     v  i * k      N  u 1 q      thì lim   0 n n  q       N  u n  u   c    (v  i c   là h  ng s  ) thì lim   lim n n   n  u   c   c            Chú ý:   Ta vi  t lim   n  u   a    thay cho cách vi  t lim   n n  u   a       .  2. M  t s     nh lí v    gi  i h  n   nh lí 1.   N  u dãy s    (u n ) th  a n   n  u   v    k    t    s    h     lim   0 n  v      thì lim   0 n  u      .   nh lí 2.   Cho lim   , lim n   n  u   a   v   b       . Ta có:  lim(   ) n   n  u   v   a   b         lim(   ) n   n  u   v   a   b         lim(   .   )   . n   n  u v   a b   lim   (   0) n n  u   a   b v   b        N  u 0 n  u   n       thì lim   n  u   a   3. T  ng c  a CSN lùi vô h  n  Cho CSN (   ) n  u   có công b  i q th  a 1 q      . Khi đó tổ ng 1   2   ...   .... n  S   u   u   u               g  i là t  ng vô h  n c  a CSN và 1   1  (1   ) lim   lim   1   1  n n  u   q   u S   S   q   q               .  4. Gi  i h  n vô c  c

Chuyên đề giới hạn – Nguyễn Bảo Vương

 GIAÛI TÍCH 11  GI  I H  N  Giáo Viên Tr  ng THPT Tuy Phong

Lý thuyết và bài tập chuyên đề giới hạn – Lư Sĩ Pháp

GV. TR GV. TR GV. TR GV. TRẦ    N QU N QU N QUỐ    C C C NGH NGH NGH NGHĨA    (S (S (Sư    u t u t u tầ    m & biên t m & biên t m & biên tậ    p) p) p)   1 1 1 1  GIỚI HẠN – LIÊN TỤC  V  n      1. GI  I H  N C  A DÃY S   A A A A - - - - GI GI GI GIỚ    I H I H I HẠ    N H N H N HỮ    U H U H U HẠ    N N N        Gi  i h  n h  u h  n     lim   0 n   n  n  u   u    =      có th    nh    h  n m  t s    d  ng bé tùy ý, k    t    m  t s    h  ng nào         i.     Dãy s    (   ) n u   có   gi  i h  n là   L   n  u:   (   ) lim   lim   0 n   n n   n  v   L   v   L       =         =        L  u ý: Ta có th    vi  t g  n: lim   0, lim n   n u   u   L =   =   .        Gi  i h  n    c bi  t  1)   1  lim   0  n   =   2)   1  lim   0  n   =   3)   3  1  lim   0  n   =  4)   0   lim   0 n   n u   u =      =   5)   lim   , C   C   C =            6)   lim   0 n  q   =   n  u   1 q   <   ) 7)   1  lim   0,   * k   k  n   =         8) lim   n  q   = +∞   n  u   1 q   >   9)   lim   ,   * k  n   k = +∞               nh lí v    gi  i h  n     N  u hai dãy s    (   ) n u   và   (   ) n v   cùng có gi  i h  n thì ta có: 1) lim   lim (   li )   m n   n   n   n u   v   u   v    =      2)   (   ) lim   .   lim   .lim n   n   n   n u v   u   v =  3)   lim lim   lim  n   n  n   n  u   u  v   v  =   (n  u   lim   0 n v      )   4)   (   ) lim   .   .li   , ( m   ) n   n k u   k   u   k =        5)   lim   lim n   n u   u =   6)   2   2 lim   lim k   k  n   n u   u =   (n  u   0 n u      ) (c  n b  c ch  n) 7)   2   1   2   1 lim   lim k   k  n   n u   u +   + =   (c  n b  c l  )   8) N  u   n   n u   v    và   lim   0 n v   =   thì   lim   0 n u   =   . -    nh lí k  p v    gi  i h  n c  a dãy s  :   Cho ba dãy s    (   ) n u   ,   (   ) n v   ,   (   ) n w   và   L         . N  u  n   n   n u   v   w       ,   * n          và lim   lim n   n u   w   L =   =   thì   (   ) n v   có gi  i h  n và lim   n v   L =   .    N  u lim   n u   a =   và lim   n v   = ±∞   thì   lim   0 n n  u v   =   . 1)   Dãy s    t  ng và b    ch  n trên thì có gi  i h  n. 2)   Dãy s    gi  m và b    ch  n d  i thì có gi  i h  n.       Chú ý:   e   lim   2, 718281828459...  n  1 1+ n       =              , là m  t s    vô t  .        T  ng c  a c  p s    nhân lùi vô h  n     M  t c  p s    nhân có công b  i q v  i |   1 | q   <    c g  i là c  p s    nhân lùi vô h  n. Ta có :   2 1   1   1  1  1  S   u   u q   u q   u  q  =   +   +... =     +   (v  i |   1 | q   <   )  4 Chủđề

Chuyên đề giới hạn – liên tục – Trần Quốc Nghĩa

Strong Team Toán VD – VDC   TOANMATH.com  TOANMATH.com   Trang 1/42  BÀI T  P VD - VDC GI  I H  N C  A DÃY S  , GI  I H  N C  A HÀM S    VÀ HÀM S    LIÊN T  C  - Strong Team Toán VD - VDC -  I.      BÀI Câu 1.   G  i   S   là t  p h  p các tham s    nguyên   a   th  a mãn   2 3   2 lim   4   0 2  n   a   a n                         . T  ng các ph  n t    c  a  S   b  ng:  A.   4.   B.   3.   C.   5.   D.   2.  Câu 2.   Tìm t  t c    giá tr    nguyên c  a   a   thu  c       0; 2020     1 . 4   2 l   1 im   3   6 4   1  n   n n   n   a          A.   2019   .   B.   2018   .   C.   2017   .   D.   2016   .  Câu 3.   Cho                  2 2 2   1 lim   3 1   5   3  an   n   n bn   n               v  i   ,   0 a b      . Kh  ng    nh nào sau          A.   9 2  b a      .   B.   9 b   a    .   C.   9 a   b    .   D.   3 b   a    .  Câu 4.   Cho 2   2 1   5 lim   5 1   4  an   an n               v  i   0 a      . Tính giá tr    bi  u th  c   P   a   a       .  A.   90   .   B.   110   .   C.   100   .   D.   10   .  Câu 5.   Cho dãy s    1 3 2  u      và       1 3 2   3  n n n u u   n   u              . Gi  i h  n c  a dãy s    1  n n   i i x   u         b  ng:  A.   lim   6 n x      .   B.   lim   11 n x      .   C.   11 lim   6  n x      .   D.   11 lim   3  n x      .  Câu 6.   Cho dãy s        n u   xác    nh nh    sau:       1 2 * 1 2020 5   , 2   2  n n n u u u   n u                            . Kh  ng    nh nào sau       sai   v    dãy      n u   ?  A.       n u   là dãy s    gi  m.   B.       n u   b    ch  n d  i.   C.   5 lim   4  n u      .   D.   lim   1 n u      .  Câu 7.   Cho dãy s        n u   xác    nh b  i công th  c:             1 1   2   2 2021 1   2020 1   ;   1 1   1  n   n u u   u   n n   n                                                     . Khi       lim   n u   b  ng:Strong Team Toán VD – VDC   TOANMATH.com  TOANMATH.com   Trang 2/42  A.   2020   .   B.   2021 2   .   C.   4041   .   D.   4041 2   .  Câu 8.   S    th  p phân vô h  n tu  n boàn 0,11272727...    c bi  u di  n d  i d  ng phân s    t  i gi  n   a b   , trong      a   và   b   là các s    nguyên d  ng. Tính   5 a   b    .  A.   120.   B.   430    .   C.   430.   D.   120    .  Câu 9.   Cho dãy s        n u   v  i   1   1   1   1 ... 3   9   27   3  n n u                                 . Tính   lim   n u   .  A.   1 4     .   B.   1 4   .  C.   1 2   .   D.   1 2     .  Câu 10.   Th    m  t qu    bóng cao su t       cao   60 m   so v  i m  t    t, m  i l  n ch  m    t qu    bóng l  i n  y lên m  t     cao b  ng   1 3      cao l  n r  i tr  c. Bi  t r  ng qu    bóng luôn chuy  n    ng vuông góc v  i m  t    t. T  ng      dài hành trình c  a qu    bóng    c th    t    lúc ban    u cho    n khi nó n  m yên trên m  t    t thu  c kho  ng nào trong các kho  ng sau      A.   (113 m;115 m)   .   B.   (115 m;117 m)   .   C.   (117 m;119 m)   .   D.   (119 m;121m)   .  Câu 11.   Tam giác mà ba    nh c  a nó là ba trung    i  m ba c  nh c  a tam giác   A BC    c g  i là   tam giác trung bình   c  a tam giác   A BC   . Ta xây d  ng dãy các tam giác   1   1   1   2   2   2   3   3   3 ,   ,   ,... A B C   A B C   A B C   sao cho   1   1   1 A   B C   là m  t tam giác    u c  nh b  ng   x   và v  i m  i s    nguyên d  ng   2 n      , tam giác   n   n   n A B C   là tam giác trung bình c  a tam giác 1   1   1 n   n   n A   B   C          . V  i m  i s    nguyên d  ng   n   , kí hi  u   n S   t  ng    ng là di  n tích tam giác   n   n   n A B C   . Tính t  ng   1   2   ...   ... n S   S   S   S               A.   2 3 3   x   .   B.   2 3 x   .   C.   2 3 2   x   .   D.   2 2   3 3   x   .  Câu 12.   Tam giác mà ba    nh c  a nó là ba trung    i  m ba c  nh c  a tam giác   A BC    c g  i là   tam giác trung bình   c  a tam giác   A BC   . Ta xây d  ng dãy các tam giác   1   1   1   , A   B C   2   2   2   , A   B C   3   3   3   ,... A B C   sao cho   1   1   1 A   B C  là m  t tam giác    u c  nh b  ng   6   và v  i m  i s    nguyên d  ng   2 n      , tam giác   n   n   n A B C   là tam giác trung bình c  a tam giác   1   1   1 n   n   n A   B   C          . V  i m  i s    nguyên d  ng   n   , kí hi  u   n S   t  ng    ng là di  n tích hình tròn n  i ti  p tam giác   n   n   n A B C   . Tính t  ng   1   2   ...   ... n S   S   S   S                ?  A.   15   . 4  S       B.   4 . S      C.   9   . 2  S       D.   5 . S     Câu 13.   Cho dãy s    (   ) n u    c xác    nh b  i: 1 1 2 2   ;   1 1  n n n u u u   n u                      . T  ng   3 1   2 1   2   3 1   1 1   1   ...   .... n n u   u u   u S   u   u   u   u                            thu  c kho  ng nào sau    

Bài tập VD – VDC giới hạn của dãy số, giới hạn của hàm số và hàm số liên tục

LUYỆN THI VÀ GIA SƯ CHẤT LƯỢNG CAO MÔN TOÁN  SĐT: 01234332133. ĐC: Phòng 5, dãy 22 Tập thể xã tắc.TP HUẾ  Biên soạn: Ths. Trần Đình Cư  Bài giảng Giải tích11  Chương IV  TÀI LI  U THÂN T  NG CÁC EM H  C SINH  L  P   TOÁN   11 - TH  Y CƯ  HU Bài giả ng   Giải tích 11. Chương IV: Giới hạn hàm số .  Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Luyện thi và gia sư chất lượng cao Môn Toán, TP Huế.  1  M  C L  C  CHƯƠNG IV. GIỚ I H  N  .......................................................................................................................2  BÀI 1. GI  I H  N C  A DÃY S  .........................................................................................................2  D  ng 1. S    d  i h  n 0 c  a dãy s    ...........................................................................3  D  ng 2. S    d    tìm gi  i h  n 0 c  a dãy s    .............................................................................4  D  ng 4. S    d  ng các gi  i h  c bi    gi  i các bài toán tìm gi  i h  n dãy.   ..........................5  D  ng 5. S    d  ng công th  c tính t  ng c  a m  t c  p s    nhân lùi vô h  n, tìm gi  i h  n, bi  u th    m  t s    th  p phân vô h  n tu  n hoàn thành phân s    ............................................................................................................6  D  ng 6. Tìm gi  i h  n vô cùng c  a m  t dãy b   ....................................................................9  D  ng 7. Tìm gi  i h  n c  a m  t dãy b  ng cách s    d  nh lý, quy t  c tìm gi  i h  n vô c  c  ........................10  M  T S    D  NG TOÁN NÂNG CAO {Tham kh  o}   .............................................................................12  BÀI 2. GI  I H  N HÀM S   ..................................................................................................................20  D    tìm gi  i h  n   ............................................................................................23  D  ng 2. Tìm gi  i h  n c  a hàm s    b  ng công th  c ..................................................................................26  D  ng 3. S    d  i h  n m  t bên   ...............................................................................27  D  ng 4. S    d  nh lý và công th  c tìm gi  i h  n m  t bên   .................................................................27  D  ng 5. Tính gi  i h  n vô c  c   ..............................................................................................................29  D  ng 6. Tìm gi  i h  n c  a hàm s    thu  c d  nh 0 0   ........................................................................29  D  ng 7. D  nh     ..................................................................................................................31  D  ng 8. D  nh ;0.       .......................................................................................................32  M  T S    D  NG TOÁN NÂNG CAO {Tham kh  o}   .............................................................................35  BÀI 3. HÀM S    LIÊN T  C  ...................................................................................................................38  D  ng 1. Xét tính liên t  c c  a hàm s    f(x) t  m x 0   ............................................................................38  D  ng 2. Xét tính liên t  c c  a hàm s    t  i m  m  ................................................................................41  D  ng 3. Xét tính liên t  c c  a hàm s    trên m  t kho  ng K   .......................................................................43  D  n c  a hàm s    f(x)   .......................................................................................45  D  ng 5. Ch  m   ...........................................................................45  M  T S    BÀI T  P LÝ THUY  T {Tham kh  o}   ......................................................................................51      ............................................................................................................................53

Phân dạng và các phương pháp giải toán chuyên đề giới hạn – Trần Đình Cư

Mô tả tài liệu đang được cập nhật...

Kĩ thuật tính giới hạn của dãy số và hàm số

Chuyên đề: Giới hạn dãy số- Chương IV: Đại số và Giải tích 11  Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com)-090.567.1232   Trang số 1  CH  NG IV: GI  I H  N CH        1 : GI  I H  N C  A DÃY S   Da    ng 1: Ti    m gi  i ha  n cu    a da    y sô   I. Da    y sô    co    gi  i ha    n h  u ha    n 1. Đi    nh nghi    a:   Ta nói dãy s    (u n   ) có gi  i h  n là L   hay (u   n   ) d  n t  i L khi n d  n t  i vô c  c (   n      ), n  u       lim   0. n n u   L         Kí hi  u:        n lim   hay u   khi n   +   . n n u   L   L                 Chú ý:             lim   lim n   n  n u   u      .  2. M  t s      nh lý:       nh lí 1:   Gi    s    lim   n u   L    , khi đó:     3 3 lim   ,lim n   n u   L   u   L         N  u   0,   0 n u   n   L             và   lim   n u   L        nh lí 2: Gi    s    lim   , lim   , n   n u   L   v   M c   const            lim(   ) n   n u   v   L   M            lim(   ) n   n u   v   L   M            lim(   .   )   . n   n u v   L M    ,   lim .   . n c u   c L      lim   (   0) n n u   L   M v   M            nh lí 3: Cho 3 dãy s    (   ), (   ),(   ) n   n   n u   v   w   . N  u   , n   n   n u   v   w   n          và  lim   lim   lim n   n   n u   w   L   v   L                 nh lí 4: Dãy s    tăng và b    ch  n trên thì có gi  i h  n. Dãy s    gi  m và b    ch  n d  i thì có gi  i h  n.  3. T  ng c  a c  p s    nhân lùi vô h  n:  S = u   1   + u 1   q + u   1   q 2   + ... =   1  1  u q        1 q     II.   DÃY S    CÓ GI  I H  N VÔ C  C  1.   Dãy s    có gi  i h  n      :   lim   n u      m  i s    h  ng c  a dãy s      u l  n h  n m  t s    d  ng tùy ý cho tr  c k    t    s    h  ng nào đó tr      2.   Dãy s    có gi  i h  n      :   lim   n u      m  i s    h  ng c  a dãy s      u nh    h  n m  t s      c k    t    s    h  ng nào đó tr    Chuyên đề: Giới hạn dãy số- Chương IV: Đại số và Giải tích 11  Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com)-090.567.1232   Trang số 2  Chú ý:   lim   lim(   )        n   n u   u  3.   M  t vài qui t  c tìm gi  i h  n vô c  c:  o   Qui t  c 1:  lim   n u   lim   n v   lim   . n   n u v                   o   Qui t  c 2:  lim   n u   D  u c  a  lim   n v   L   lim   . n   n u v                   o   Qui t  c 3:  lim   0 n u   L      D  u c  a L  lim   0,   0 n   n v   v      D  u c  a   lim   n v   lim   n n u v  +       -       

Chuyên đề giới hạn của dãy số – Nguyễn Quốc Tuấn

L    S    PHÁP                    LSP GV-Tr  ng THPT Tuy Phong

Chuyên đề Giới hạn – Lư Sĩ Pháp

Ph  m Minh Đ  c   -   H/s THPT     ng Đa   Sđt: 01252344751  TÌM GI  I H  N B  NG MÁY TÍNH C  M TAY  I.Các phím c  n dùng  1. Phím CALC (Solve)  - Phím CALC trong máy tính  Casio có ch  c năng là gán giá tr   , là m  t trong nh  ng tính năng  hay c  a máy.  Ví d  : Nh  p bi  u th  c X+1 vào máy tính và tính giá tr    bi  u th  c v  i x =1, x=2, x=3  B1:    n Alpha   (đ    nh  p bi  n x) và   +1  B2:    n phím CALC máy s    hi  n X?  B3: B  m phím 1 r  i    n ‘=’ ta s   thu đư  c k  t qu    khi thay   x=1  vào bi  u th  c  K  t lu  n   : Như ta th  y máy đã thay bi  n X b  ng giá tr    1 nên X +1 s      c hi  u 1+1  =2 . Đ  n đây b  n đ  c có th    hi  u đư  c công d  ng c  a phím CALC và có th    th    thay  x=2 ,x=3 ... th  m chí bi  u th  c ph  c t  p hơn đ    hi  u rõ phím .   Còn bây gi    chúng ta    n ph  n tính gi  i h  n.  II. Tìm gi  i h  nPh  m Minh Đ  c   -   H/s THPT     ng Đa   Sđt: 01252344751  1.   D  ng ch  a lũy th  a  VD Hình    nh   v    nh  ng câu lim   d  ng lũy th  a:  a. 1  ( 2)   4.5 lim   2.4   3.5  n   n n   n          b. 3 1   1  2   3   4 lim 2   3   4  n   n   n n   n   n                 c. 2 1   2   1  2   3   4.5 lim 2   3   5  n   n   n n   n   n                    V  y đ    làm nh  ng con trên ta ph  i làm th    nào ?  - Nh  p bi  u th  c vào máy tính  - Ta CALC cho x =100 và    n ‘=’ máy s    cho ra k  t qu   2.   D  ng x   - > +    và x   - >   -   VD Hình    nh v    nh  ng câu lim d  ng   x   - > +    và x   - >   -    :  a. 2   4 lim   2 x  x   x x         b. 3   2  lim (   2x   4) x   x   x           2 3  2 lim   2x   2 x  x   x x            V  y đ    làm nh  ng con trên ta ph  i làm th    nào ?  - Nh  p bi  u th  c vào máy tính  - Vì x        n đ  n âm vô cùng , dương vô cùng là nh  ng s    vô cùng l  n và vô cùng  bé nên ta gán x b  ng nh  ng s    vô cùng ho  c vô cùng bé phím CALC

Tìm giới hạn bằng máy tính cầm tay – Phạm Minh Đức

Chuyên đề   gi  i h  n và liên t  c   H  i toán B  c Nam  GI  I H  N DÃY S   A. LÝ THUY  T I. DÃY S    CÓ GI  I H  N 0   . 1.     Ta nói r  ng dãy s      n u   có gi  i h  n 0   ( hay có gi  i h  n là 0   ) n  u v  i m  i s    dương nhỏ   tùy ý cho  trướ c, m  i s    h  ng c  a dãy s  , k    t    m  t s    h     u có giá tr    tuy  i nh    hơn số  dương đó.  Kí hi  u: lim   0 n u      . Nói m  t cách ng  n g  n, lim   0 n u      n  u n u   có th    nh    hơn mộ t s    d    t    s    h  ng  nào đó trở     T     ng: a) lim   0   lim   0 n   n u   u          . b) Dãy s    không đổ i     n u   , v  i 0 n u      , có gi  i h  n là 0   . c) Dãy s      n u   có gi  i h  n là 0   n  u n u   có th    g  n 0   bao nhiêu cũng đượ c, mi  n là n      l  n.  2. M  t s    dãy s    có gi  i h  n 0   nh lí 4.1  Cho hai dãy s      n u   và     n v   . N  u n   n u   v    v  i m  i n   và lim   0 n v      thì lim   0 n u      .   nh lí 4.2  N  u 1 q      thì lim   0 n  q      .  Ngườ i ta ch  c r  ng  a) 1 lim   0  n      . b) 3  1 lim   0  n     c) 1 lim   0 k  n      v  i m  i s    nguyên dương k   cho trướ c.  Trườ ng h  c bi  t : 1 lim   0  n      . d) lim   0  k n  n a      v  i m  i * k      và m  i 1 a      cho trướ c.  II. DÃY S    CÓ GI  I H  N H  U H  N.  1. Định nghĩa  Ta nói r  ng dãy s      n u   có gi  i h  n là s    th  c L   n  u     lim   0 n u   L       . Kí hi  u: lim   n u   L    . Dãy s    có gi  i h  n là m  t s    th  c g  i là dãy s    có gi  i h  n h  u h  n. a)   Dãy số không đổi     n u   với n u   c    , có giới hạn là c   . b) lim   n u   L    khi và chỉ khi khoảng cách n u   L    trên trục số thực từ điểm n u    L   trở nên nhỏ bao nhiêu cũng được miễn là n    n   tăng thì các điểm n u    chụm lại” quanh điểm L   .Chuyên đề   gi  i h  n và liên t  c   H  i toán B  c Nam  c)   Không phải mọi dãy số đều có giới hạn hữu hạn.  2. M  t s     nh lí   nh lí 4.3  Gi    s  lim   n u   L    . Khi đó  a) lim   n u   L    và 3 3 lim   n u   L    . b) N  u 0 n u      v  i m  i n   thì 0 L      và lim   n u   L    .   nh lí 4.4  Gi    s  lim   n u   L    , lim   n v   M    và c   là m  t h  ng s   a)     lim   n   n u   v   L   M          .   b)     lim   n   n u   v   L   M          . c)     lim   n   n u v   LM    .   D)     lim   n cu   cL    . e) lim   n n  u   L v   M     (n  u 0 M      ).  3. T  ng c  a c  p s    nhân lùi vô h  n   nh   nghĩa  C  p s    nhân lùi vô h  n là c  p s    nhân có công b  i q   th  a 1 q      . Công th  c tính t  ng c  a c  p s    nhân lùi vô h  n: 2   1 1   1   1   ...   1  u S   u   u q   u q   q                   III. DÃY S    CÓ GI  I H  N VÔ C  C. 1. Dãy s    có gi  i h  n   Ta nói r  ng dãy s      n u   có gi  i h  n    n  u v  i m  i s    dương tùy ý cho trướ c, m  i s    h  ng c  a dãy s  , k    t    m  t s    h     u l    dương đó.  Kí hi  u: lim   n u      . Nói m  t cách ng  n g  n, lim   n u      n  u n u   có th    l  t s    dương lớ n tùy ý, k    t    s    h  ng  nào đó trở     Ngườ i ta ch  c r  ng: a) lim   n u      . b) 3 lim   n u     c) lim   k  n      v  i m  t s    nguyên dương k   cho trướ c.  Trườ ng h  c bi  t : lim n      . d) lim   n  q      n  u 1 q      .  2. Dãy s    có gi  i h  n   Ta nói r  ng dãy s      n u   có gi  i h  n    n  u v  i m  i s     c, m  i s    h  ng c  a dãy s  , k    t    m  t s    h     u nh    hơn số     Kí hi  u: lim   n u      . Nói m  t cách ng  n g  n, lim   n u      n  u n u   có th    nh    hơn mộ t s        tùy ý, k    t    s    h  ng  nào đó trở     Nh  n xét:  a)     lim   lim n   n u   u          .

Chuyên đề giới hạn dãy số, giới hạn hàm số và hàm số liên tục

Giới hạn của dãy số   Ths. Lê Hải Trung 0984735736 Chương IV: Giới hạn   Page 1  CHƯƠNG IV: GIỚI HẠN BÀI 1: GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ A. LÝ THUYẾT I. Giới hạn 0 1. Định nghĩa:  Dãy số   (   ) n u    mỗi số dương nhỏ tuỳ ý cho trước, mọi số hạng của dãy số , kể từ một số hạng nào  Kí hiệu:   lim   0 n u      .Hay là:   0 lim   0 n x   u       2. Một số giới hạn đặc biệt     1 lim   0 k n      với   * k            Nếu   1 q      thì   lim   0 n n q     II. Giới hạn hữu hạn 1. Định nghĩa:  Ta nói rằng dãy số   (   ) n u      a   nếu       lim   0 n u   a       .Khi đó ta viết:       lim   lim   0 n   n u   a   u   a             , Dãy số (u n   ) có giới hạn là số thực gọi là dãy số có giới hạn hữu hạn.  Chú ý:   Nếu   n u   c    (với   c   là hằng số) thì   lim   lim n n   n u   c   c           2. Một số định lí về giới hạn    Nếu dãy số (u   n   ) thỏa   n   n u   v    kể từ số hạng nào đó trở đi và   lim   0 n v      thì  lim   0 n u      .     Cho   lim   , lim n   n u   a   v   b       . Ta có:     lim(   ) n   n u   v   a   b             lim(   ) n   n u   v   a   b            lim(   .   )   . n   n u v   a b       lim   (   0) n n u   a   b v   b          Nếu   0 n u   n       thì   lim   n u   a Giới hạn của dãy số   Ths. Lê Hải Trung 0984735736 Chương IV: Giới hạn   Page 2  3. Tổng của CSN lùi vô hạn  Cho CSN   (   ) n u   có công bội q thỏa   1 q      . Khi đó tổng  1   2   ...   .... n S   u   u   u                gọi là tổng vô hạn của CSN và  1   1 (1   ) lim   lim   1   1  n n u   q   u S   S   q   q                .  III. Giới hạn vô cực 1. Định nghĩa:  Ta nói rằng dãy số   (   ) n u            với mỗi số dương tuỳ  số dương đó .   Kí hiệu   lim   n u     Chú ý       lim   lim n   n n   n u   u               .  4.2. Một số kết quả đặc biệt     lim   k n      với mọi   0 k        lim   n q      với mọi   1 q      .  4.3.Một vài quy tắc tìm giới hạn vô cực. Quy tắc 1 : Nếu   lim   n u      ,   lim   n v      thì   lim(   .   ) n   n u v     lim   n u   lim   n v   lim(   ) n   n u v                          Quy tắc 2 : Nếu   lim   n u      ,   lim   n v   l    thì   lim(   .   ) n   n u v     lim   n u   Dấu của   l   lim(   ) n   n u v                        

Giới hạn của dãy số, giới hạn của hàm số và hàm số liên tục – Lê Hải Trung

Trường THPT Hùng Vương - Bình Phước   GV. Nguyễn Hữu Hiếu    m- biên soạn  Một số vấn đề cơ bản về dãy số và giới hạn của dãy   1  MỘT SỐ VẤN ĐỀ CƠ BẢN VỀ   GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ  A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT  1.     Dãy số     n u      dãy số tăng   nếu với mọi n   ta có 1 n   n u   u      Dãy số     n u      là   dãy số giảm   nếu với mọi n   ta có 1 n   n u   u      2.     Dãy số     n u      bị chặn trên   nếu tồn tại một số M   sao cho ,   * n u   M   n      Dã y số     n u      bị chặn dưới   nếu tồn tại một số m   sao cho ,   * n u   m   n      Dãy số     n u      bị chặn   nếu tồn tại một số M   và một số m   sao cho ,   * n m   u   M   n         3.     a.   Mọi dãy tăng và bị chặn trên thì hội tụ.  b.   Mọi dãy giảm và bị chặn dưới thì hội tụ.  4.     a.   Mọi dãy tăng và không bị chặn trên thì tiến tới    .  b.   Mọi dãy giảm và không bị chặn dưới thì tiến tới    .  5.     a.   Nếu một dãy     n u   hội tụ đến a   thì mọi dãy con trích từ     n u   cũng hội tụ đến a   .  b.     n u   hội tụ đến a      2 n u   và     2   1 n u      hội tụ đến a   .  6.     a.   Nếu lim   0 n n  u       và 0, n u   n       thì 1 lim  n   n u      b.   Nếu lim   n n  u       và 0, n u   n       thì 1 lim   0  n   n u      7.    .(Định lý kẹp giữa về giới hạn). Nếu với mọi 0 n   n    ta luôn có n   n   n u   x   v       và lim   lim n   n u   v   a      thì lim   n x   a   8.   Sử dụng tiêu chuẩn Weierstrass để chứng minh dãy số có giới hạn  Bài toán . Chứng minh dãy số     n u   xác định bởi      1 1   ;   2 n   n  u   a u   f   u   n                 có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó (     f   x   là hàm số liên tục).  Phương pháp giải  a)   Dãy     n x   bị chặn. Nếu     f   x   là hàm số tăng trên     ; a b   thì dãy     n x    tụ đến L   là nghiệm của phương trình     f   x   x    .Trường THPT Hùng Vương - Bình Phước   GV. Nguyễn Hữu Hiếu    m- biên soạn  Một số vấn đề cơ bản về dãy số và giới hạn của dãy   2  b)   Nếu     f   x   là hàm số nghịch biến thì các dãy con        2   2   1 ; n   n x   x      của dãy     n x   ngược chiều biến thiên.  N hận xét :   Nếu dãy     2 n x   hội tụ đến L   , dãy     2   1 n x      hội tụ đến K   :  Với L   K    thì dãy     n x   không có giới hạn;  Với L   K    thì dãy     n x   có giới hạn là L   .  II. B   1. CHỨNG MINH DÃY SỐ CÓ GIỚI HẠN  Bài 1.   Cho dãy số n  (u )   xác định bởi công thức 1 * 1   2  3 1   3 2   ; (   ). 3 n   n n  u u   u   n u   .   Chứng mi nh  dãy số có giới hạn. Tính lim   n  u   ?  Lời giải  Theo công thức xác định dãy (   ) n  u   , ta có *  0; n  u   n   .   3 2   * 3 1   2   2   2  1   3   1   3   3 2   .   3   ; 3   3 n   n   n   n   n n   n   n  u   u   u   u   u   n u   u   u  .  Do đó: 3   *  3 ; n  u   n   .  Mặt khác: 3 1   2   2   2  3 2   1   1   3   1   0 3   3   3  n n   n   n   n   n n   n   n  u u   u   u   u   u u   u   u   .  Vậy (   ) n  u   là dãy số giảm và bị chặn dưới nên nó có giới hạn.  Giả sử, lim   n  u   a   .Ta có: 3 2   2  2   1   3   3 3  a   a   a   a a   a   .  Kết luận. 3  lim   3 n  u   .  Bài 2.   Ch    minh dãy   số có giới hạn và tìm giới hạn đó  Bài 3.   Chứng minh dãy số 0 1  1 1   ;   1, 2,3... 3  n n  u u   n u                         có giới hạn và tìm giới hạn đó.  a) n  x   : 1   1  3 1 , 6   2   1  n n n  x x   x   x  b) n  x   : 1   1  2;   2 n   n  x   x   x  c) n  x   : !   ; 2   1 !!  n  n x   n   N n  d) n  x   : 1   1  13;   12 n   n  x   x   x  e) n  x   : 2 1   1  1   4 ; 2   3 n   n   n  x   x   x   x

Một số vấn đề cơ bản về giới hạn của dãy số – Nguyễn Hữu Hiếu

Câu   1:   (THPT   Chuyên   Hùng   Vương-Phú   Thọ-lần   1-NH2017-2018)   Phát biểu nào sau đây là   sai   ?  A.   lim   n u   c    (   n u   c    là hằng số ).   B.   lim   0 n q          1 q      .  C.   1 lim   0  n      .   D.   1 lim   0 k n          1 k      .  Lời   giải Chọn   B  Theo định nghĩa giới hạn hữu hạn của dãy số (SGK ĐS11-Chương 4) thì lim   0 n q          1 q      .  Câu   2:   (THPT   Chuyên   Hùng   Vương-Phú   Thọ-lần   1-NH2017-2018)   Cho hàm số       y   f   x    liên tục trên khoảng       ; a   b   . Điều kiện cần và đủ để hàm số liên tục trên đoạn       ; a   b   là ?  A.             lim  x   a f   x   f   a      và             lim  x   b f   x   f   b      .   B.             lim  x   a f   x   f   a      và             lim  x   b f   x   f   b      .  C.             lim  x   a f   x   f   a      và             lim  x   b f   x   f   b      .   D.             lim  x   a f   x   f   a      và             lim  x   b f   x   f   b      .  Lời   giải Chọn   A  Hàm số   f   xác định trên đoạn       ; a   b          ; a   b   nếu nó liên tục trên khoảng       ;   , a   b                lim  x   a f   x   f   a      và             lim  x   b f   x   f   b      .  Câu   3:   (THPT   Nguyễn   Khuyến-Nam      1-năm   2017-2018)   Tính giới hạn   2   1  lim 3   2  n  n       .  A.   2 3   .   B.   3 2   .   C.   1 2   .   D.   0   .  Lời   giải Chọn   A  Ta có 1 2 2   1   2 lim   lim   2 3   2   3 3  n   n n n               .  Câu   4:   (THPT   Chuyên   Vĩnh   Phúc-lần   2-năm   2017-2018)   Tính giới hạn  3 1 1 lim   . 1       x x A   x  A.   .  A   B.   0.  A   C.   3.  A   D.   .  A  Lời   giải  Chọn   C  3 1 1 lim   1       x x A   x            2 1 1   1 lim   1             x x   x   x x       2 1 lim   1   3              x   x   x   .  Câu   5:   (THPT   Quãng   Xương-Thanh   Hóa-lần   1-năm   2017-2018)   Giá trị của       2 1 lim 3   2   1  x   x   x           bằng:  A.      .   B.   2   .   C.   1   .   D.   3   .  Lời   giải .  Chọn   B      2   2 1 lim 3   2   1   3.1   2.1   1   2.  x   x   x                    Câu   6:   (THPT   Chuyên   Lam-Thanh   Hóa-lần   1-năm   2017-2018)   Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng 0   ?  A.   2 3                n  n u   .   B.   6 5                n  n u   .   C.  3   3 1         n n   n u   n   .   D.   2   4     n u   n   n   .  Lời   giải :  Chọn   A  2 lim   lim   0 3                       n n n   n u   (Vì   2   2   1 3   3           ).  Câu   7:   (Đề   tham   khảo   BGD   năm   2017-2018)   2 lim   3 x x x      bằng  A.   2 3     .   B.   1   .   C.   2   .   D.   3    .  Lời   giải  Chọn   B  Chia cả tử và mẫu cho   x   , ta có   2 lim   3 x x x     2  1 lim   3 1  x x x       1  1    1    .

Trắc nghiệm giới hạn có giải chi tiết trong các đề thi thử Toán 2018

MỤC LỤC  Chương 1.   GIỚI HẠN   1   1 –   Giới hạn của dãy số   1  A A   Tóm tắt lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   1  B B   Các dạng toán   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   2  |   Dạng 1. Dùng định nghĩa chứng minh giới hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   2  |   Dạng 2. Tính giới hạn dãy số dạng phân thức   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   5  |   Dạng 3. Tính giới hạn dãy số dạng phân thức chứa   a n   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   5  |   Dạng 4. Dãy số dạng Lũy thừa - Mũ   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   11  |   Dạng 5. Giới hạn dãy số chứa căn thức   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   13   2 –   Giới hạn hàm số   24  A A   Tóm tắt lý thuyết   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   24  B B   Các dạng toán   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   27  |   Dạng 1. Giới hạn của hàm số dạng vô định   0 0   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   27  |   Dạng 2. Giới hạn dạng vô định       ;          ; 0         . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   45  |   Dạng 3. Tính giới hạn hàm đa thức, hàm phân thức và giới hạn một bên.   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   50   3 –   Hàm số liên tục   57  A A   Tóm tắt lí thuyết   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   57  B B   Các dạng toán   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   58  |   Dạng 1. Xét tính liên tục của hàm số tại một điểm   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   58  |   Dạng 2. Hàm số liên tục trên một tập hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   64  |   Dạng 3. Dạng tìm tham số để hàm số liên tục - gián đoạn   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   68  |   Dạng 4. Chứng minh phương trình có nghiệm   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   71   4 –      77  A A    . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   77  B B    . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   79  C C    . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   80  D D    . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   82  E E    . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   84  F F    . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   87  G G    . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   90  H H    . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   92  I I    . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   94  i / 101   p   Th.S Nguyễn Hoàng Việt         0905.193.688

Chuyên đề giới hạn – Nguyễn Hoàng Việt

MỤC LỤC  CHƯƠNG 4   GIỚI HẠN   1  1.   GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   1 A   TÓM TẮT LÝ THUYẾT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   1 B   PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   2 Dạng 1. Khử vô định dạng       . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   2 Dạng 2. Khử vô định dạng            . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   3 Dạng 3. Một số quy tắc tính giới hạn vô cực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   4 Dạng 4. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   4 C   BÀI TẬP TỰ LUYỆN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   5 D   BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   7 2.   GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   10 A   TÓM TẮT LÝ THUYẾT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   10 B   PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   12 Dạng 1. Giới hạn của hàm số khi   x      x 0 . Khử dạng vô định   0 0   . . . . . . . . . .   12 Dạng 2. Giới hạn của hàm số khi   x     . Khử dạng vô định     ;          ; 0         13 Dạng 3. Giới hạn một bên. Sự tồn tại giới hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   14 C   BÀI TẬP TỰ LUYỆN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   15 D   BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   17 3.   HÀM SỐ LIÊN TỤC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   21 A   TÓM TẮT LÝ THUYẾT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   21 B   PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   22 Dạng 1. Xét tính liên tục của hàm số tại một điểm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   22 Dạng 2. Xét tính liên tục của hàm số trên miền xác định . . . . . . . . . . . . . . . .   23 Dạng 3. Tìm giá trị của tham số để hàm số liên tục - gián đoạn . . . . . . . . .   23 Dạng 4. Chứng minh phương trình có nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   23 C   BÀI TẬP TỰ LUYỆN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   24 D   BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   26 4.      29  Tài liệu học tập môn Toán 11   Trang i   p   GV: Phùng V Hoàng Em

Lý thuyết và bài tập chuyên đề giới hạn – Phùng Hoàng Em

NGUYỄN THỊ ANH THƯ &   Các bài toán về  GIỚI HẠN  NIÊN KHÓA: 2019 - 2022  lim  0 sin   1  x x x    LỜI GIỚI THIỆU  Kính chào Quý Thầy Cô cùng các bạn học sinh thân mến! Trong quá trình ôn tập để chuẩn bị cho những kì thi học sinh giỏi, em cùng với    Trường THPT Nguyễn Đình Chiểu - Tiền Giang      Chuyên đề “Giới hạn”.  Nhằm để củng cố kiến thức, qua sưu tầm, tìm tòi và học hỏi, chúng em đã tổng hợp được một số dạng toán trong các đề thi Olympic tháng 4, Kì thi tuyển chọn học sinh giỏi, . . . và phát triển thêm một số bài tập hay và khó. Chúng em hy vọng tài liệu nhỏ này có thể giúp Quý Thầy Cô và các bạn học sinh tham khảo, mở rộng thêm nhiều dạng bài tập mới, cũng như sẽ giúp ích cho các bạn học sinh, các anh chị ôn tập để chuẩn bị cho những kì thi sắp tới! Khi tổng hợp và biên soạn, chúng em xin chân thành cảm ơn đến   Thầy Nguyễn Minh Thành    về mặt ý tưởng cũng như hỗ trợ về mặt công nghệ thông tin để giúp chúng em hoàn thiện tài liệu này. Ngoài ra, xin gửi lời cảm ơn đến những bạn sau:  1   Bạn   Tăng Phồn Thịnh, Lớp 11A1, Niên khóa 2019 – 2022.  2   Bạn   Huỳnh Trần Nhật Quang, Lớp 11T1, Niên khóa 2019 – 2022.  3   Bạn   Nguyễn Phạm Nhật Minh, Lớp 11T2, Niên khóa 2019 – 2022.  4   Bạn   Lý Nguyễn, Lớp 11T2, Niên khóa 2019 – 2022.  5   Bạn   Nguyễn Đức Lộc, Lớp 11T1, Niên khóa 2019 – 2022.  6   Bạn   Nguyễn Minh Khoa, Lớp 11A2, Niên khóa 2019 – 2022.  Cùng các bạn là thành viên của       chúng em rất mong nhận được những phản hồi, góp ý từ Quý Thầy Cô và các bạn học sinh. Kính chúc Quý Thầy Cô và các bạn học một năm mới thành công và hạnh phúc. Đặc biệt, chúc các bạn trong       trong những kỳ thi sắp tới. Em xin trân trọng kính chào! Mỹ Tho, ngày 18 tháng 02 năm 2021  Nguyễn Thị Anh Thư, Lớp 11T3, Niên khóa 2019 – 2022

Các bài toán về giới hạn trong đề thi Olympic Toán 11

CHƯƠNG   4   GIỚI HẠN  BÀI   1.   GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ  A   TÓM TẮT LÍ THUYẾT 1   GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ     Dãy số   ( u n )   có giới hạn là   0   khi   n   dần tới dương vô cực nếu   | u n |   có thể nhỏ hơn một số dương bé tuỳ ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi. Kí hiệu:   lim  n  +    u n   =   0   hay   lim   u n   =   0 .  VÍ DỤ 1.   lim  n  +   1  n 2   =   0 .     Dãy số   ( u n )   có giới hạn là   a   nếu   | u n      a |   có giới hạn bằng   0 . Nghĩa là:   lim  n  +    u n   =   a      lim  n  +  ( u n      a ) =   0 .  VÍ DỤ 2.   lim  n  +   2 n   +   1  n   +   3   =   2 .  2   CÁC ĐỊNH LÝ VỀ GIỚI HẠN HỮU HẠN    lim 1  n   =   0; lim 1  n k   =   0   với   k   là số nguyên dương.  lim   q n   =   0   nếu   | q |   <   1 .    Nếu   lim   u n   =   a   và   lim   v n   =   b   thì   lim   ( u n      v n ) =   a      b ,   lim   ( u n . v n ) =   a . b ,   lim  (   u n  v n  )  =   a b   (nếu  b   6   =   0 ). Nếu   u n      0   với mọi   n   và   lim   u n   =   a   thì   a      0   và   lim    u n   =    a .  3   TỔNG CỦA CẤP SỐ NHÂN LÙI VÔ HẠN     Cấp số nhân vô hạn   ( u n )   có công bội   q   thoả mãn   | q |   <   1      cấp số nhân lùi vô hạn .     Cho cấp số nhân lùi vô hạn   ( u n ) , ta có tổng của cấp số nhân lùi vô hạn đó là  S   =   u 1   +   u 2   +   u 3   +   ...   +   u n   +   ...   =   u 1  1      q   ,   ( | q |   <   1 )  367368   CHƯƠNG 4. GIỚI HẠN  4   GIỚI HẠN VÔ CỰC    Ta nói dãy số   ( u n )   có giới hạn   +    khi   n      +  , nếu   u n   có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi. Kí hiệu:   lim   u n   = +  . Ta nói dãy số   ( u n )   có giới hạn       khi   n      +  , nếu   lim (  u n ) = +  . Kí hiệu:   lim   u n   =     .    a) Nếu   lim   u n   =   a   và   lim   v n   =       thì   lim   u n  v n  =   0 . b) Nếu   lim   u n   =   a   >   0, lim   v n   =   0   và   v n   >   0   với mọi   n   thì   lim   u n  v n  = +  . c) Nếu   lim   u n   = +    và   lim   v n   =   a   >   0   thì   lim   u n v n   = +  .  B   CÁC DẠNG TOÁN  {   DẠNG 1.1. Dùng định nghĩa chứng minh giới hạn     lim   u n   =   L   ta chứng minh   lim   ( u n      L ) =   0 .  VÍ DỤ 1.   Chứng minh rằng a.   lim  (    n 3  n 3   +   1  )  =    1   b.   lim  (   n 2   +   3 n   +   2 2 n 2   +   n  )  =   1 2 .  L   Lời giải  a. Ta có   lim  (    n 3  n 3   +   1      (  1 )  )  =   lim  (   1  n 3   +   1  )  . Vì   0          1  n 3   +   1        <   1  n 3   ,    n      N  . Mà   lim 1  n 3   =   0   nên suy ra   lim  (   1  n 3   +   1  )  =   0 . Do đó   lim  (    n 3  n 3   +   1  )  =    1 . b. Ta có   lim  (   n 2   +   3 n   +   2 2 n 2   +   n      1 2  )  =   lim   5 n   +   4 2   ( 2 n 2   +   n )  Vì   0   <       5 n   +   4 2   ( 2 n 2   +   n )        <   5 n   +   5 2 n   ( n   +   1 ) =   5 2 . 1  n   ,    n      N  . Mà   lim  (   5 2. 1  n  )  =   5 2. lim 1  n   =   0  Nên suy ra   lim   5 n   +   4 2   ( 2 n 2   +   n ) =   0 . Do đó   lim  (   n 2   +   3 n   +   2 2 n 2   +   n  )  =   1 2 .    VÍ DỤ 2.   Chứng minh rằng a.   lim  (   3.3 n      sin 3 n  3 n  )  =   3   b.   lim  (  n 2   +   n      n  )  =   1 2 .  L   Lời giải

Hướng dẫn giải các dạng toán giới hạn

 S & GT _ 11_CH  GI  I H  N VÀ LIÊN T  C  1  Fb :   ThayTrongDGL   Tài li  u biên so  n và sưu t  m   Chúc các em h  c t  t !  CHƯƠNG   4   GI  I H  N  M ụ   c l ụ   c  BÀI 1. GI  I H  N C  A DÃY S    ................................ ................................ ................................ .   1  A. TÓM T  T LÝ THUY  T   ................................ ................................ ................................ ....   2  B. D  NG TOÁN VÀ BÀI T  P  ................................ ................................ ...............................   3  C. BÀI T  P RÈN LUY  N ................................ ................................ ................................ .....   22  BÀI 2. GI  I H  N C  A HÀM S    ................................ ................................ ..............................   25  A. TÓM T  T LÝ THUY  T   ................................ ................................ ................................ ..   25  B. D  NG TO Á   N V À   BÀI T  P  ................................ ................................ .............................   26  C. BÀI T  P RÈN LUY  N ................................ ................................ ................................ .....   70  BÀI 3. HÀM S    LIÊN T  C  ................................ ................................ ................................ ......   113  A. TÓM T  T LÝ THUY  T   ................................ ................................ ................................   113  B. D  NG TOÁN VÀ BÀI T  P  ................................ ................................ ...........................   114  C. BÀI   T  P RÈN LUY  N ................................ ................................ ................................ ...   138  BÀI 4. ÔN T  P CHƯƠNG IV   ................................ ................................ ................................ ..   139  A. BÀI T  P   ................................ ................................ ................................ ..........................   139  B. L  I GI  I ................................ ................................ ................................ ..........................   145 S & GT _ 11_CH  GI  I H  N VÀ LIÊN T  C  2  Fb :   ThayTrongDGL   Tài li  u biên so  n và sưu t  m   Chúc các em h  c t  t !  BÀI 1. GI  I H  N C  A DÃY S   A.   TÓM T  T LÝ THUY  T     (Giới hạn bằng 0   ). Ta nói dãy số (   ) n u   có giới hạn là 0 nếu với mỗi số dương nhỏ t   cho trước, mọi số hạng của dãy số, kể t   dương đó. Khi đó ta viết lim   0 n n   u     =   hay lim   0 n u   =   hay 0 n u      khi n      .     (Giới hạn bằng a   ). Ta nói dãy số (   ) n u   có giới hạn là số thực a   nếu (   ) lim   0 n u   a    =   . Khi   lim   n n   u   a     =   hay lim   n u   a =   hay n u   a    khi n      . Dãy số có giới hạn là số a   hữu hạn gọi là  dãy số có giới hạn hữu hạn.     (Giới hạn vô cực).  1.   Ta nói dãy số (   ) n u   có giới hạn là +   khi n      nếu n u   có thể lớn hơn một số dương bất kỳ,  kể từ một số hạng nào đó trở đi.  Ký hiệu: lim   n u   = +   hay n u      khi n      .  2.   Dãy s  (   ) n u   có giới hạn là    khi n      nếu (   ) lim   n u    = +   .  Ký hiệu: lim   n u   = −   hay n u      khi n      .  GI  I H  N H  U H  N   GI  I H  N VÔ C  C  Các gi  i h  n đ  c bi  t   (   ) * 1 lim   0, k   k n   =      .   (   ) lim   0,   1 n  q   q =      .   (   ) lim   , C   C   C =     Các gi  i h  n đ  c bi  t   (   ) *  lim   , k  n   k = +      .   (   ) lim   0,   1 n  q   q =      .    nh lí 1.   N  u lim   n u   a =   và lim   n v   b =   thì   (   ) lim   n   n u   v   a   b    =      .   (   ) lim   n   n u   v   a b    =      .   (   ) lim   0 n n  u   a   b v   b  =      .     N  u 0, n u   n       và lim   n u   a =   thì 0 a     và lim   n u   a =   .    nh lí 2.     N  u lim   n u   a =   và lim   n v   =    thì lim   0 n n  u v   =  .     N  u lim   0 n u   a =      và lim   0 n v   =   và 0, n v   n      thì lim   n n  u v   = +   .     N  u lim   n u   = +   và lim   0 n v   a =      thì (   ) lim   n   n u   v    = +  .    nh lí 3   (Nguyên lý k  p). Cho ba dãy s  (   ) (   ) (   ) ,   , n   n   n u   v   w   . Lúc đó, n  u , n   n   n u   v   w   n          và (   ) lim   lim   , n   n u   w   a   a =   =     thì lim   n v   a =   .    nh nghĩa 4.   C  p s    nhân (   ) n u   có công   b  i q     c g  i kà c  p s    nhân lùi vô h  n n  u 1 q      .  Nh  n xét.   Cho c  p s    nhân lùi vô h  n (   ) n u   có công b  i q   . V  i m  i *  n      , đ  t 1   2   ...   n S   u   u   u =   +   +   +   . Lúc   (   ) 1  lim   4.1 1  n  u S   q  =       nh nghĩa 5.   Gi  i h  n (   ) 4.1     c g  i là t  ng c  a c  p s    nhân lùi vô h  n (   ) n u   và đư  c ký hi  u là

Các dạng toán và bài tập giới hạn và liên tục – Nguyễn Trọng

Mục lục   w   Cao Thanh Phuác   1  h   https://www.facebook.com/caothanhphucteacher  MỤC LỤC  Chương   4   GIỚI HẠN   T RANG   2  B    1.   GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2  1.1.   Giới hạn hữu hạn của dãy số   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   . 2 1.1.1. Định nghĩa .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   . 2 1.1.2. Một vài giới hạn đặc biệt .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   . 2 1.2.      .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   . 2 1.3.   Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn.   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   . 3 1.4.   Giới hạn vô cực.   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   . 3 1.4.1. Định nghĩa .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   . 3 1.4.2. Một vài giới hạn đặc biệt .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   . 3 1.4.3. Định lí   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   . 3 1.5.   Bài tập .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   . 3  B    2.   GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8  2.1.      .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   . 8 2.2.      .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   . 8 2.3.   Bài tập .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   . 8  B    3.   GIỚI HẠN TẠI VÔ CỰC CỦA HÀM SỐ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   18  3.1.   Giới hạn hữu hạn của hàm số tại vô cực.   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   18 3.2.   Giới hạn vô cực của hàm số.   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   18 3.2.1. Giới hạn vô cực .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   18 3.2.2. Một vài giới hạn đặc biệt .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   18 3.3.   Bài tập .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   18  B    4.   GIỚI HẠN MỘT BÊN CỦA HÀM SỐ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   31  4.1.      .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   31 4.2.      .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   31 4.3.   Bài tập .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   31  B    5.   HÀM SỐ LIÊN TỤC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   39  5.1.   Hàm số liên tục tại một điểm .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   39 5.2.   Hàm số liên tục trên một khoảng   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   39 5.3.   Một số định lí cơ bản   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   40 5.4.   Bài tập .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   40     45  Nerver put off till tomorrow what you can do today! Nerver put off till tomorrow what you can do today! Nerver put off till tomorrow what you can do today! Nerver put off till tomorrow what you can do today! Nerver put off till tomorrow what you can do today! Nerver put off till tomorrow what you can do today! Nerver put off till tomorrow what you can do today! Nerver put off till tomorrow what you can do today! Nerver put off till tomorrow what you can do today! Nerver put off till tomorrow what you can do today! Nerver put off till tomorrow what you can do today! Nerver put off till tomorrow what you can do today! Nerver put off till tomorrow what you can do today! Nerver put off till tomorrow what you can do today! Nerver put off till tomorrow what you can do today! Nerver put off till tomorrow what you can do today! Nerver put off till tomorrow what you can do today!w 2   Cao Thanh Phúc -      0789 36 39 36  Chûúng 4   GIỚI HẠN  B    1.   GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ  1.1. Giới hạn hữu hạn của dãy số  1.1.1. Định nghĩa   .   Ta nói dãy số   ( u n )   có giới hạn là   0   khi   n   dần tới dương vô cực, nếu   | u n |   có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi. Kí hiệu:   lim  n  +    u n   = 0   hay   u n      0   khi   n      +  .   .   Ta nói dãy số   ( v n )   có giới hạn là   a   (hay   v n   dần tới   a ) khi   n      +  , nếu  lim  n  +    ( v n      a ) = 0 . Kí hiệu:   lim  n  +    v n   =   a   hay   v n      a   khi   n      +  .  1.1.2. Một vài giới hạn đặc biệt  1   lim  n  +   1  n   = 0 ;   lim  n  +   1  n k   = 0   với   k   nguyên dương;  2   lim  n  +    q n   = 0   nếu   | q |   <   1 ;  3   Nếu   u n   =   c   ( c   là hằng số) thì   lim  n  +    u n   =   lim  n  +    c   =   c .  Chú ý .   Từ nay về sau thay cho   lim  n  +    u n   =   a   ta viết tắt là   lim   u n   =   a .  1.2. Định lý về giới hạn hữu hạn    1   Nếu   lim   u n   =   a   và   lim   v n   =   b   thì  lim ( u n   +   v n ) =   a   +   b .  lim ( u n      v n ) =   a      b .  lim ( u n      v n ) =   a      b .  lim   u n  v n    =   a b   (nếu   b      = 0 ).  2   Nếu  {   lim   u n   =   a u n      0 ,    n   thì  {   lim    u n   =    a a      0 .  L UYỆN   T HI   T HPT   Q UỐC   G IA   C    T HẦY   C AO   T HANH   P HÚC

Giới hạn của dãy số, giới hạn của hàm số và hàm số liên tục – Cao Thanh Phúc

B   NG   GI  I H  N   C  A   DÃY S   A.   LÝ THUY  T  I. DÃY S    CÓ GI  I H  N 0   .  1.     nh nghĩa  Ta nói r  ng dãy s  (   )  n u   có gi  i h  n 0   ( hay có gi  i h  n là 0   ) n  u v  i m  i s    dương nh    tùy ý cho  trư  c, m  i s    h  ng c  a dãy s  , k    t    m  t s    h  ng nào đó tr      u có giá tr    tuy  t đ  i nh    hơn s   dương đó.  Kí hi  u: lim   0 n u   =   .  Nói m  t cách ng  n g  n, lim   0 n u   =   n  u n u   có th    nh    hơn m  t s    dương bé tùy ý, k    t    s    h  ng  nào đó tr      T      nh nghĩa suy ra r  ng:  a) lim   0   lim   0 n   n u   u =      =   .  b) Dãy s    không đ  i (   )  n u   , v  i 0 n u   =   , có gi  i h  n là 0   .  c) Dãy s  (   )  n u   có gi  i h  n là 0   n  u n u   có th    g  n 0   bao nhiêu cũng đư  c, mi  n là n       l  n.  2.   M  t s    dãy s    có gi  i h  n 0    nh lí 4.1  Cho hai dãy s  (   )  n u   và (   )  n v   .  N  u n   n u   v    v  i m  i n   và lim   0 n v   =   thì lim   0 n u   =   .  STUDY TIP    nh lí 4.1 thư  ng đư  c s    d  ng đ    ch  ng minh m  t dãy s    có gi  i h  n là 0   .    nh lí 4.2  N  u 1 q      thì lim   0 n  q   =   .  Ngư  i ta   ch  ng mình đư  c r  ng  a) 1 lim   0  n   =   .  b) 3  1 lim   0  n   =  c) 1 lim   0 k  n   =   v  i m  i s    nguyên dương k   cho trư  c.  Trư  ng h  p đ  c bi  t : 1 lim   0  n   =   .  d) lim   0  k n  n a   =   v  i m  i * k      và m  i 1 a      cho trư  c.  STUDY TIP  Cách ghi nh    các k  t qu    bên như sau: Khi t    s    không đ  i, m  u s    càng l  n (d  n đ  n dương vô  c  c) thì phân s    càng nh    (d  n v  0   )  II. DÃY S    CÓ GI  I H  N H  U H  N.  1. Đ  nh nghĩa  Ta nói r  ng dãy s  (   ) n u   có gi  i h  n là s    th  c L   n  u (   )  lim   0 n u   L    =   .  Kí hi  u: lim   n u   L =   .  Dãy s    có gi  i h  n là m  t s    th  c g  i là dãy s    có gi  i h  n h  u h  n.STUDY TIP  a)   Dãy số không đổi (   )  n u   với n u   c =   , có giới hạn là c   .  b) lim   n u   L =   khi và chỉ khi khoảng cách n u   L    trên trục số thực từ điểm n u    L   trở nên nhỏ  bao nhiêu cũng được miễn là n    n   tăng thì các điểm n u     chụm lại” quanh điểm L   .  c)   Không phải mọi dãy số đều có giới hạn hữu hạn.  2. M  t s      nh lí    nh lí 4.3  Gi    s  lim   n u   L =   . Khi đó  a) lim   n u   L =   và 3 3 lim   n u   L =   .  b) N  u 0 n u      v  i m  i n   thì 0 L      và lim   n u   L =   .    nh lí 4.4  Gi    s  lim   n u   L =   , lim   n v   M =   và c   là m  t h  ng s  . Khi đó  a) (   )  lim   n   n u   v   L   M +   =   +   .   b) (   )  lim   n   n u   v   L   M    =      .  c) (   )  lim   n   n u v   LM =   .   D) (   )  lim   n cu   cL =   .  e) lim   n n  u   L v   M  =   (n  u 0 M      ).  3. T  ng c  a c  p s    nhân lùi vô h  n    nh nghĩa  C  p s    nhân lùi vô h  n là c  p s    nhân có công b  i q   th  a 1 q      .  Công th  c tính t  ng c  a c  p s    nhân lùi vô h  n: 2   1 1   1   1   ...   1  u S   u   u q   u q   q  =   +   +   +   =     III. DÃY S    CÓ GI  I H  N VÔ C  C.  1. Dãy s    có gi  i h  n +  Ta nói r  ng dãy s  (   ) n u   có gi  i h  n +   n  u v  i m  i s    dương tùy ý cho trư  c, m  i s    h  ng c  a  dãy s  , k    t    m  t s    h  ng nào đó tr      u l  n hơn s    dương đó.  Kí hi  u: lim   n u   = +   .  Nói m  t cách ng  n g  n, lim   n u   = +   n  u n u   có th    l  n hơn m  t s    dương l  n tùy ý, k    t    s    h  ng  nào đó tr      Ngư  i ta ch  ng minh đư  c r  ng:  a) lim   n u   = +   .  b) 3 lim   n u   = +  c) lim   k  n   = +   v  i m  t s    nguyên dương k   cho trư  c.  Trư  ng h  p đ  c bi  t : lim n   = +   .  d) lim   n  q   = +   n  u 1 q      .  2. Dãy s    có gi  i h  n   Ta nói r  ng dãy s  (   ) n u   có gi  i h  n    n  u v  i m  i s      c, m  i s    h  ng c  a dãy  s  , k    t    m  t s    h  ng nào đó tr      u nh    hơn s      Kí hi  u: lim   n u   = −   .

Bài giảng giới hạn của dãy số

CHUÛ ÑEÀ 4.   GIÔÙI HAÏN     Baøi 01  GIÔÙI HAÏN CUÛA DAÕY SOÁ  I      GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA DÃY SỐ 1. Định nghĩa    Ta nói dãy số   (   ) n u   có giới hạn là   0   khi   n   dần tới dương vô cực, nếu   n u   có thể nhỏ hơn một số dương bé tuỳ ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi. Kí hiệu:   lim   0 n n   u     =   hay   0 n u      khi   . n       Ta   nói   dãy   số   (   ) n v   có   giới   hạn   là   a   (hay   n v   dần   tới   a   )   khi   , n      nếu  (   ) lim   0. n n   v   a        =  Kí hiệu:   lim   n n   v   a     =   hay   n v   a    khi   . n     2. Một vài giới hạn đặc biệt  a)   1 lim   0;  n   n   =   1 lim   0 k n   n   =   với   k   nguyên dương; b)   lim   0 n n   q     =   nếu   1; q   <  c) Nếu   n u   c =   (   c   là hằng số) thì   lim   lim   . n n   n  u   c   c       =   =  Chú ý:   Từ nay về sau thay cho   lim   n n   u   a     =   ta viết tắt là   lim   n u   a =   .  II          a) Nếu   lim   n u   a =   và   lim   n v   b =   thì  (   ) lim   n   n u   v   a   b    +   =   +   (   ) lim   n   n u   v   a   b       =     (   ) lim   .   . n   n u   v   a b    =   lim   n n  u   a v   b              =                (nếu   0 b      ). b) Nếu   lim 0,  n n  u   a  u   n     =              thì   lim   . 0  n u   a  a      =          III      TỔNG CỦA CẤP SỐ NHÂN LÙI VÔ HẠN  Cấp số nhân vô hạn   (   ) n u   có công bội   q   , với   1 q   <    hạn. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn:  (   ) 1   2   3 1   1 .  1  n S   u   u   u   u   u   q q  =   +   +   +   +   =    ...   < ...   +IV      GIỚI HẠN VÔ CỰC 1. Định nghĩa     Ta nói dãy số   (   ) n u   có giới hạn là   +∞   khi   n      , nếu   n u   có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi. Kí hiệu:   lim   n u   = +∞   hay   n u      khi   . n        Dãy số   (   ) n u   có giới hạn là      khi   n      , nếu   (   ) lim   n u    = +∞   . Kí hiệu:   lim   n u   = −∞   hay   n u      khi   . n     Nhận xét:   (   ) lim   . n   n u   u = +∞ ⇔      = −∞  2. Một vài giới hạn đặc biệt  Ta thừa nhận các kết quả sau a)   lim   k  n   = +∞   với   k   nguyên dương; b)   lim   n  q   = +∞   nếu   1 q   >   .  3. Định lí 2  a) Nếu   lim   n u   a =   và   lim   n v   = ±∞   thì   lim   0 n n  u v   =   . b) Nếu   lim   0 n u   a =   >   ,   lim   0 n v   =   và   0,   0 n v   n >      >   thì   lim   . n n  u v   = +∞  c) Nếu   lim   n u   = +∞   và   lim   0 n v   a =   >   thì   . lim   . n   n u   v   +∞ =  CÂU HỎI V= B=I TẬP TRẮC NGHIỆM 11  NGUYỄN PHÚ KHÁNH      HUỲNH ĐỨC KHÁNH    Liên hệ tác giả HUỲNH ĐỨC KHÁNH      0975120189  https://www.facebook.com/duckhanh0205  Khi mua có sẵn   File đề riêng;  File đáp án riêng để thuận tiện cho việc in ấn dạy học  CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM  Vấn đề 1. DÃY SỐ DẠNG PHÂN THỨC  Câu 1.   Kết quả của giới hạn   sin 5  lim   2  3  n n                         bằng:  A.   2.    B.   3.   C.   0.   D.   5   .  3